Analysis Beispiele

$y = \ln ({(t + 1)}^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = {(t + 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = t + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $t + 1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t + 1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (2 (t + 1) \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

Schritt 3.4

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (1 + 0))$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) \cdot 1)$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $t + 1$ mit $1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} (t + 1)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren von $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} (t + 1)$ um.

$(t + 1) \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t + 1$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $t + 1$ aus ${(t + 1)}^{2}$ heraus.

$(t + 1) \frac{2}{(t + 1) (t + 1)}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(t + 1) \frac{2}{(t + 1) (t + 1)}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{t + 1}$