Analysis Beispiele

Let $f (x) = \frac{x + 1}{x - 3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 - x - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 - 3 - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$\frac{- 3 - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 3 - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$\frac{- 4}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 = 0$

Schritt 2.3

Da $4 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4

Werte $\frac{x + 1}{x - 3}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$\frac{(3) + 1}{(3) - 3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{(3) + 1}{0}$

Schritt 4.1.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden