Analysis Beispiele

$\frac{1}{x} - 2 x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x} - 2 x$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{x} - 2 x$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{x} - 2 x d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - 2 x d x$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - 2 x d x$

Schritt 6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C - 2 \int x d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| x |) + C - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\ln (| x |) - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Schritt 8.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Schritt 8.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| x |) + \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Schritt 8.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\ln (| x |) - x^{2} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{x} - 2 x$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) - x^{2} + C$