Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2.7

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 1.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.9

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{\frac{1}{3}} (2 x) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{\frac{1}{3}} (2 x) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.10.3.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.10.3.1.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 1.1.10.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + \frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.1.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{3 + 1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.1.5

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{\frac{4}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.4

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.5

Bringe $x^{\frac{2}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.10.3.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{2 - \frac{2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.6.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.6.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 3 - 2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.10.3.6.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{6 - 2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.6.5.2

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.7

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + x \frac{- 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.8

Kombiniere $x$ und $\frac{- 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{x \cdot - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.9

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 \cdot x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.10

Bringe $x^{\frac{2}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.11

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.10.3.11.1

Bewege $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 (x^{- \frac{2}{3}} x)}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.11.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{2}{3}}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.10.3.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 (x^{- \frac{2}{3}} x^{1})}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x^{- \frac{2}{3} + 1}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.11.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x^{\frac{- 2 + 3}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.11.5

Addiere $- 2$ und $3$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.13

Mutltipliziere $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ mit $1$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.14

Um $2 x^{\frac{4}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.15

Kombiniere $2 x^{\frac{4}{3}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.17

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{6 x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.18

Addiere $6 x^{\frac{4}{3}}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.19

Um $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.20

Kombiniere $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.22

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.23

Subtrahiere $2 x^{\frac{1}{3}}$ von $- 6 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 8 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.3.24

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.10.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $\frac{7}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.2.7

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{7}{3}$ mit $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.2.9

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 1.2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.5.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 1.2.3.5.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 2$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.9.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.11

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.12

Kombiniere $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{3}}$ mit $x^{- \frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.13.1

Bewege $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.13.4

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.13.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.14

Bringe $x^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.15

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.3.16

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $- \frac{8}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 1.2.4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.2.4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.2.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.2.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 1.2.4.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 1.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.4.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.2.4.9

Mutltipliziere $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ mit $\frac{8}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 8}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.10

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 8}{9}$

Schritt 1.2.4.11

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

Schritt 1.2.4.12

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$9, 9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{2}{3}}, 1$

Schritt 2.2.2

Da $9, 9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{2}{3}}, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $9, 9, 9, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{\frac{5}{3}}, x^{\frac{2}{3}}$ .

Schritt 2.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.2.4

$9$ hat Faktoren von $3$ und $3$ .

$3 \cdot 3$

Schritt 2.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.2.6

Das kgV von $9, 9, 9, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3 \cdot 3$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9$

Schritt 2.2.8

Das kgV von $x^{\frac{5}{3}}, x^{\frac{2}{3}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 2.2.9

Das kgV von $9, 9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{2}{3}}, 1$ ist der numerische Teil $9$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ mit $9 x^{\frac{5}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ mit $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$28 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{5}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Bewege $x^{\frac{5}{3}}$ .

$28 (x^{\frac{5}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$28 x^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$28 x^{\frac{5 + 1}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3.4

Addiere $5$ und $1$ .

$28 x^{\frac{6}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3.5

Dividiere $6$ durch $3$ .

$28 x^{2} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ in den Zähler.

$28 x^{2} + \frac{- 2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$28 x^{2} + \frac{- 2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$28 x^{2} - 2 - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{2}{3}} \cdot 9$ .

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Schritt 2.3.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ in den Zähler.

$28 x^{2} - 2 + \frac{- 8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.5.2

Faktorisiere $x^{\frac{2}{3}} \cdot 9$ aus $9 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$28 x^{2} - 2 + \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 (1)} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.5.3

Faktorisiere $x^{\frac{2}{3}} \cdot 9$ aus $9 x^{\frac{5}{3}}$ heraus.

$28 x^{2} - 2 + \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 (1)} (x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 (x^{\frac{3}{3}})) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$28 x^{2} - 2 + \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 \cdot 1} (x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 x^{\frac{3}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$28 x^{2} - 2 - 8 x^{\frac{3}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.6

Dividiere $3$ durch $3$ .

$28 x^{2} - 2 - 8 x^{1} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.7

Vereinfache.

$28 x^{2} - 2 - 8 x = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Multipliziere $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$28 x^{2} - 2 - 8 x = 0 x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{5}{3}}$ .

$28 x^{2} - 2 - 8 x = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $28 x^{2} - 2 - 8 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $28 x^{2}$ heraus.

$2 (14 x^{2}) - 2 - 8 x = 0$

Schritt 2.4.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (14 x^{2}) + 2 (- 1) - 8 x = 0$

Schritt 2.4.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$2 (14 x^{2}) + 2 (- 1) + 2 (- 4 x) = 0$

Schritt 2.4.1.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (14 x^{2}) + 2 (- 1)$ heraus.

$2 (14 x^{2} - 1) + 2 (- 4 x) = 0$

Schritt 2.4.1.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (14 x^{2} - 1) + 2 (- 4 x)$ heraus.

$2 (14 x^{2} - 1 - 4 x) = 0$

Schritt 2.4.1.2

Stelle die Terme um.

$2 (14 x^{2} - 4 x - 1) = 0$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 (14 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (14 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (14 x^{2} - 4 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (14 x^{2} - 4 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $14 x^{2} - 4 x - 1$ durch $1$ .

$14 x^{2} - 4 x - 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$14 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.4

Setze die Werte $a = 14$ , $b = - 4$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (14 \cdot - 1)}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.5

Vereinfache.

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Schritt 2.4.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 14 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 14 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $14$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 56 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 56$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 56}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.5.1.3

Addiere $16$ und $56$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.5.1.4

Schreibe $72$ als $6^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.5.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $72$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.5.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$

Schritt 2.4.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$ .

$x = \frac{2 \pm 3 \sqrt{2}}{14}$

Schritt 2.4.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.6.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 14 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 14 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $14$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 56 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 56$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 56}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.6.1.3

Addiere $16$ und $56$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.6.1.4

Schreibe $72$ als $6^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.6.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $72$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.6.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$

Schritt 2.4.6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$ .

$x = \frac{2 \pm 3 \sqrt{2}}{14}$

Schritt 2.4.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{2 + 3 \sqrt{2}}{14}$

Schritt 2.4.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.7.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 14 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 14 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $14$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 56 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 56$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 56}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.7.1.3

Addiere $16$ und $56$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.7.1.4

Schreibe $72$ als $6^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.4.7.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $72$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.7.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 14}$

Schritt 2.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$

Schritt 2.4.7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$ .

$x = \frac{2 \pm 3 \sqrt{2}}{14}$

Schritt 2.4.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{2 - 3 \sqrt{2}}{14}$

Schritt 2.4.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{2 + 3 \sqrt{2}}{14}, \frac{2 - 3 \sqrt{2}}{14}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0.4459029$ in $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.4459029$ .

$f (0.4459029) = {(0.4459029)}^{\frac{1}{3}} ({(0.4459029)}^{2} - 2 \cdot 0.4459029 + 1)$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Potenziere $0.4459029$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f (0.4459029) = 0.76397667 ({(0.4459029)}^{2} - 2 \cdot 0.4459029 + 1)$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Potenziere $0.4459029$ mit $2$ .

$f (0.4459029) = 0.76397667 (0.1988294 - 2 \cdot 0.4459029 + 1)$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.4459029$ .

$f (0.4459029) = 0.76397667 (0.1988294 - 0.89180581 + 1)$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.3.1

Subtrahiere $0.89180581$ von $0.1988294$ .

$f (0.4459029) = 0.76397667 (- 0.69297641 + 1)$

Schritt 3.1.2.3.2

Addiere $- 0.69297641$ und $1$ .

$f (0.4459029) = 0.76397667 \cdot 0.30702358$

Schritt 3.1.2.3.3

Mutltipliziere $0.76397667$ mit $0.30702358$ .

$f (0.4459029) = 0.23455886$

Schritt 3.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.23455886$ .

$0.23455886$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0.4459029$ in $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$ ermittelt werden kann, ist $(0.4459029, 0.23455886)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0.4459029, 0.23455886)$

Schritt 3.3

Ersetze $- 0.16018862$ in $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.16018862$ .

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} ({(- 0.16018862)}^{2} - 2 \cdot - 0.16018862 + 1)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $- 0.16018862$ mit $2$ .

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} (0.02566039 - 2 \cdot - 0.16018862 + 1)$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 0.16018862$ .

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} (0.02566039 + 0.32037724 + 1)$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Addiere $0.02566039$ und $0.32037724$ .

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} (0.34603763 + 1)$

Schritt 3.3.2.2.2

Addiere $0.34603763$ und $1$ .

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1.34603763$

Schritt 3.3.2.2.3

Bringe $1.34603763$ auf die linke Seite von ${(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- 0.16018862) = 1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}}$ .

$1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 0.16018862$ in $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$ ermittelt werden kann, ist $(- 0.16018862, 1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 0.16018862, 1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0.4459029, 0.23455886), (- 0.16018862, 1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 0.16018862) \cup (- 0.16018862, 0.4459029) \cup (0.4459029, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 0.16018862)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.26018862$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Um $- \frac{8}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{8}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}} {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.2.2.2

Multipliziere ${(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.2.1

Bewege ${(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}} {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 5.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Schritt 5.2.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{3 + 2}{3}}}$

Schritt 5.2.2.2.4

Addiere $3$ und $2$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 - 8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 - 8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5.2.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 - 8 \cdot - 0.26018862}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.2.1

Berechne den Exponenten.

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 - 8 \cdot - 0.26018862}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5.2.4.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 0.26018862$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 + 2.08150896}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5.2.4.2.3

Addiere $- 2$ und $2.08150896$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{0.08150896}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{0.08150896}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{0.08150896}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5.3

Bei $- 0.26018862$ , die zweite Ableitung ist $- 2.07155288$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 0.16018862)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 0.16018862)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.16018862, 0.4459029)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.\overline{142857}$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = \frac{28 {(0.\overline{142857})}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $0.\overline{142857}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = \frac{28 \cdot 0.52275795}{9} - \frac{2}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $28$ mit $0.52275795$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = \frac{14.63722284}{9} - \frac{2}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2.1.3

Dividiere $14.63722284$ durch $9$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - \frac{2}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2.1.4

Potenziere $0.\overline{142857}$ mit $\frac{5}{3}$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - \frac{2}{9 \cdot 0.03903941} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $9$ mit $0.03903941$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - \frac{2}{0.3513547} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2.1.6

Dividiere $2$ durch $0.3513547$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 1 \cdot 5.69225332 - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $5.69225332$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2.1.8

Potenziere $0.\overline{142857}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - \frac{8}{9 \cdot 0.27327588}$

Schritt 6.2.1.9

Mutltipliziere $9$ mit $0.27327588$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - \frac{8}{2.45948294}$

Schritt 6.2.1.10

Dividiere $8$ durch $2.45948294$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - 1 \cdot 3.25271618$

Schritt 6.2.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $3.25271618$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - 3.25271618$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $5.69225332$ von $1.62635809$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = - 4.06589523 - 3.25271618$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $3.25271618$ von $- 4.06589523$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = - 7.31861142$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 7.31861142$ .

$- 7.31861142$

Schritt 6.3

Bei $0.\overline{142857}$ , die zweite Ableitung ist $- 7.31861142$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 0.16018862, 0.4459029)$

Abfallend im Intervall $(- 0.16018862, 0.4459029)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0.4459029, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.5459029$ .

$f'' (0.5459029) = \frac{28 {(0.5459029)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(0.5459029)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.5459029$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f'' (0.5459029) = \frac{28 \cdot 0.81728175}{9} - \frac{2}{9 {(0.5459029)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $28$ mit $0.81728175$ .

$f'' (0.5459029) = \frac{22.88388904}{9} - \frac{2}{9 {(0.5459029)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.2.1.3

Dividiere $22.88388904$ durch $9$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - \frac{2}{9 {(0.5459029)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.2.1.4

Potenziere $0.5459029$ mit $\frac{5}{3}$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - \frac{2}{9 \cdot 0.36463555} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $9$ mit $0.36463555$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - \frac{2}{3.28171997} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.2.1.6

Dividiere $2$ durch $3.28171997$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 1 \cdot 0.60943652 - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.60943652$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.2.1.8

Potenziere $0.5459029$ mit $\frac{2}{3}$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - \frac{8}{9 \cdot 0.66794946}$

Schritt 7.2.1.9

Mutltipliziere $9$ mit $0.66794946$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - \frac{8}{6.01154515}$

Schritt 7.2.1.10

Dividiere $8$ durch $6.01154515$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - 1 \cdot 1.33077267$

Schritt 7.2.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.33077267$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - 1.33077267$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $0.60943652$ von $2.54265433$ .

$f'' (0.5459029) = 1.93321781 - 1.33077267$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $1.33077267$ von $1.93321781$ .

$f'' (0.5459029) = 0.60244514$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.60244514$ .

$0.60244514$

Schritt 7.3

Bei $0.5459029$ ist die zweite Ableitung $0.60244514$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0.4459029, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0.4459029, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(0.4459029, 0.23455886)$ .

$(0.4459029, 0.23455886)$

Schritt 9