Analysis Beispiele

$\frac{2 x + 3}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{2 x + 3}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (2 x + 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x + 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (2 x + 3) x^{- 2} d x$

Schritt 5

Multipliziere $(2 x + 3) x^{- 2}$ .

$\int 2 x \cdot x^{- 2} + 3 x^{- 2} d x$

Schritt 6

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege $x^{- 2}$ .

$\int 2 (x^{- 2} x) + 3 x^{- 2} d x$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 2 (x^{- 2} x^{1}) + 3 x^{- 2} d x$

Schritt 6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 x^{- 2 + 1} + 3 x^{- 2} d x$

Schritt 6.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$\int 2 x^{- 1} + 3 x^{- 2} d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x^{- 1} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x^{- 1} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Schritt 9

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int 3 x^{- 2} d x$

Schritt 10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

Schritt 12.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

Schritt 12.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$