Analysis Beispiele

$\int 5 x^{3} - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 x^{3} d x + \int - \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int x^{3} d x + \int - \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (3 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (3 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 9

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Schritt 9.2

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Schritt 9.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Schritt 9.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}) + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + C$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{4} + C$

Schritt 11.3

Stelle die Terme um.

$\frac{5}{4} x^{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + C$