Analysis Beispiele

$x^{2} (- 3 x^{2} - 2)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = - 3 x^{2} - 2$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} - 2] + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{2} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]) + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x^{2} (- 6 x + \frac{d}{d x} [- 2]) + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (- 6 x + 0) + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6

Addiere $- 6 x$ und $0$ .

$x^{2} (- 6 x) + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot - 6 + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot - 6 + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 2} \cdot - 6 + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{3} \cdot - 6 + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$- 6 \cdot x^{3} + (- 3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 6 x^{3} + (- 3 x^{2} - 2) (2 x)$

Schritt 6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $- 3 x^{2} - 2$ .

$- 6 x^{3} + 2 \cdot (- 3 x^{2} - 2) x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 x^{3} + (2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot - 2) x$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 x^{3} + 2 (- 3 x^{2}) x + 2 \cdot - 2 x$

Schritt 7.3

Vereine die Terme

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$- 6 x^{3} - 6 x^{2} x + 2 \cdot - 2 x$

Schritt 7.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 6 x^{3} - 6 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 2 x$

Schritt 7.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 6 x^{3} - 6 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 2 x$

Schritt 7.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$- 6 x^{3} - 6 x^{3} + 2 \cdot - 2 x$

Schritt 7.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 6 x^{3} - 6 x^{3} - 4 x$

Schritt 7.3.6

Subtrahiere $6 x^{3}$ von $- 6 x^{3}$ .

$- 12 x^{3} - 4 x$