Analysis Beispiele

$(x - 1) \sqrt{x}$

Schritt 1

Schreibe $(x - 1) \sqrt{x}$ als Funktion.

$f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (x - 1) \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int (x - 1) x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 5

Multipliziere $(x - 1) x^{\frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.6

Addiere $2$ und $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$