Analysis Beispiele

$\frac{2}{x^{3}} + C$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{3}} + C$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [C]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [C]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [C]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [C]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [C]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [C]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [C]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [C]$

Schritt 2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [C]$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [C]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [C]$

Schritt 2.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [C]$

Schritt 2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [C]$

Schritt 2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [C]$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$- 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [C]$

Schritt 3

Da $C$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $C$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 x^{- 4} + 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 6}{x^{4}} + 0$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{x^{4}} + 0$

Schritt 4.2.3

Addiere $- \frac{6}{x^{4}}$ und $0$ .

$- \frac{6}{x^{4}}$