Analysis Beispiele

$\int (x^{3} + x) \sqrt{x^{4} + 2 x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{4} + 2 x^{2}$ . Dann ist $d u = (4 x^{3} + 4 x) d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{4} + 2 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{4} + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 4 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} + 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{6} {(x^{4} + 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$