Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = \arctan (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ , folglich $- d u = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \arctan (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 2.1.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.1.4

Ordne Terme um.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \arctan (x)$ ein.

$u_{lower} = \arctan (0)$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \arctan (x)$ ein.

$u_{upper} = \arctan (1)$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} u d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{u^{2}}{2}$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$2 ((\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Schritt 5.2.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - 0)$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} + 0)$

Schritt 5.2.4

Addiere $\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$ und $0$ .

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{π}{4})}^{2}$

Schritt 6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{4}$ an.

$\frac{π^{2}}{4^{2}}$

Schritt 6.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{π^{2}}{16}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π^{2}}{16}$

Dezimalform:

$0.61685027 \dots$