Analysis Beispiele

$y = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$

Schritt 1.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ .

$0 - 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})])$

Schritt 1.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})])$

Schritt 1.2.3

Da $\frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ nach $x$ gleich $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{3}]$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{3}]))$

Schritt 1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{1}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}])))$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}])))$

Schritt 1.2.6

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (1 + 0)))$

Schritt 1.2.7

Addiere $1$ und $0$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} \cdot 1))$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $1$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$ und $\frac{π}{2}$ .

$0 - 4 \frac{\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{2}$

Schritt 1.2.10

Kombiniere $- 4$ und $\frac{\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{2}$ .

$0 + \frac{- 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2}$

Schritt 1.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$ heraus.

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2}$

Schritt 1.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2 (1)}$

Schritt 1.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{1}$

Schritt 1.2.11.2.4

Dividiere $- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$ durch $1$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x + \frac{π}{2} (- \frac{1}{3})) π$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{2 \cdot 3}) π$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{6}) π$

Schritt 1.3.2.3

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $x$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$

Schritt 1.3.2.4

Subtrahiere $2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$ von $0$ .

$- 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $- 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$ um.

$- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $- 2 π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ nach $x$ gleich $- 2 π \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = - 2 π \frac{d}{d x} \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 2 π (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - 2 π (- \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Schritt 2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 2 π (\sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Schritt 2.3.6

Da $- \frac{π}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{6}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} + 0)$

Schritt 2.3.7

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.1

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2})$

Schritt 2.3.7.2

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot 2}{2} \cdot (π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Schritt 2.3.7.3

Kombiniere $\frac{π \cdot 2}{2}$ und $π$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot (2 π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 2.4

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (π π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 2.5

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (π π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 π^{1 + 1}}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 π^{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{2 π^{2}}{2}$ und $\sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = \frac{2 π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{2}$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{2 π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{2}$

Schritt 2.9.2

Dividiere $π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ durch $1$ .

$f'' (x) = π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$ durch $- 2 π$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$ durch $- 2 π$ .

$\frac{- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ durch $1$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{- 2 π}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 (0)}{- 2 π}$

Schritt 4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 π$ heraus.

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 (0)}{2 (- π)}$

Schritt 4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 0}{2 (- π)}$

Schritt 4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{- π}$

Schritt 4.3.2

Dividiere $0$ durch $- π$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$

Schritt 5

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Addiere $\frac{π}{6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

Schritt 7.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Schritt 7.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

Schritt 7.5.2

Addiere $3 π$ und $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{4 π}{6}$

Schritt 7.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{6}$

Schritt 7.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Schritt 7.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 8

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 9

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Vereinfache $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 9.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 9.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 9.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 9.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Vereinfache $\frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Schritt 9.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Schritt 9.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (\frac{2}{3})$

Schritt 9.2.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{3}$

Schritt 9.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 10

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 11

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 11.1.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 11.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 11.1.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 11.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 11.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Addiere $\frac{π}{6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

Schritt 11.2.2

Um $\frac{3 π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Schritt 11.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Schritt 11.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{9 π + π}{6}$

Schritt 11.2.5.2

Addiere $9 π$ und $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{10 π}{6}$

Schritt 11.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $10 π$ heraus.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{6}$

Schritt 11.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Schritt 11.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π x}{2} = \frac{5 π}{3}$

Schritt 11.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 11.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1.1

Vereinfache $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 11.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 11.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 11.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 11.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 11.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.2.1

Vereinfache $\frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.2.1.1.1

Faktorisiere $π$ aus $5 π$ heraus.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Schritt 11.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Schritt 11.4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (\frac{5}{3})$

Schritt 11.4.2.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 5}{3}$

Schritt 11.4.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{10}{3}$

Schritt 12

Die Lösung der Gleichung $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{4}{3}, \frac{10}{3}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{4}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$π^{2} \sin (\frac{π (\frac{4}{3})}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{3}$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{π \cdot 4}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 14.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{4 π}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 14.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π^{2} \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 14.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$π^{2} \sin (\frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 14.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π^{2} \sin (\frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 14.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})$

Schritt 14.2

Um $\frac{2 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 14.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})$

Schritt 14.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})$

Schritt 14.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})$

Schritt 14.5.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})$

Schritt 14.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})$

Schritt 14.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Schritt 14.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Schritt 14.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π^{2} \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 14.7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$π^{2} \cdot 1$

Schritt 14.8

Mutltipliziere $π^{2}$ mit $1$ .

$π^{2}$

Schritt 15

$x = \frac{4}{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{4}{3}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{4}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot ((\frac{4}{3}) - \frac{1}{3}))$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{4 - 1}{3})$

Schritt 16.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 16.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 16.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot 1)$

Schritt 16.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 16.2.1.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \cdot 1$

Schritt 16.2.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4$

Schritt 16.2.2

Subtrahiere $4$ von $- 2$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 6$

Schritt 16.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$y = - 6$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{10}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$π^{2} \sin (\frac{π (\frac{10}{3})}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.1

Kombiniere $π$ und $\frac{10}{3}$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{π \cdot 10}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 18.1.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von $π$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{10 π}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 18.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π^{2} \sin (\frac{10 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 18.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10 π$ heraus.

$π^{2} \sin (\frac{2 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 18.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π^{2} \sin (\frac{2 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 18.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})$

Schritt 18.2

Um $\frac{5 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})$

Schritt 18.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.3.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})$

Schritt 18.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})$

Schritt 18.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})$

Schritt 18.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})$

Schritt 18.5.2

Subtrahiere $π$ von $10 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})$

Schritt 18.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.6.1

Faktorisiere $3$ aus $9 π$ heraus.

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})$

Schritt 18.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Schritt 18.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Schritt 18.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 18.7

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 18.8

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$π^{2} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 18.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$π^{2} \cdot - 1$

Schritt 18.10

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $π^{2}$ .

$- 1 \cdot π^{2}$

Schritt 18.11

Schreibe $- 1 π^{2}$ als $- π^{2}$ um.

$- π^{2}$

Schritt 19

$x = \frac{10}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{10}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 20

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{10}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{10}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot ((\frac{10}{3}) - \frac{1}{3}))$

Schritt 20.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{10 - 1}{3})$

Schritt 20.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $10$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{9}{3})$

Schritt 20.2.1.3

Dividiere $9$ durch $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Schritt 20.2.1.4

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Schritt 20.2.1.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Schritt 20.2.1.6

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 20.2.1.7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 20.2.1.8

Multipliziere $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \cdot - 1$

Schritt 20.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 + 4$

Schritt 20.2.2

Addiere $- 2$ und $4$ .

$f (\frac{10}{3}) = 2$

Schritt 20.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 21

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))$ .

$(\frac{4}{3}, - 6)$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{10}{3}, 2)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 22