Analysis Beispiele

$y = \arctan (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (\frac{x}{2}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$\frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 3.3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 3.3.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

Schritt 3.3.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{4}$ .

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

Schritt 3.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.3.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

Schritt 3.3.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 3.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.5.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.3.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 4}{2}}$

Schritt 3.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{2}{x^{2} + 4}$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $\frac{2}{x^{2} + 4}$ mit $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + 4}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{2}{x^{2} + 4}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2} + 4}$