Analysis Beispiele

$f (x) = x^{5} - \frac{2}{x^{3}} - 4 x + 2$ ?

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - \frac{2}{x^{3}} - 4 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5 x^{4} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{4} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$5 x^{4} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{4} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 + 0$

Schritt 1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4 + 0$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$ und $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$20 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$20 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$20 x^{3} + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$20 x^{3} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{3} + 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$20 x^{3} + 6 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.7

Multipliziere $x^{- 8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$20 x^{3} - 24 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$20 x^{3} - 24 x^{- 5} + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 x^{3} - 24 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $- 24$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$20 x^{3} + \frac{- 24}{x^{5}} + 0$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}} + 0$

Schritt 2.5.2.3

Addiere $20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$ und $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 x^{3}$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{24}{x^{5}}$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$60 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{5}}$ als ${(x^{5})}^{- 1}$ um.

$60 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{5}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{5}$ .

$60 x^{2} - 24 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$60 x^{2} - 24 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{5}$ .

$60 x^{2} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$60 x^{2} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$60 x^{2} - 24 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$60 x^{2} - 24 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Schritt 3.3.7

Multipliziere $x^{- 10}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.7.1

Bewege $x^{4}$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Schritt 3.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{4 - 10})$

Schritt 3.3.7.3

Subtrahiere $10$ von $4$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{- 6})$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 24$ .

$60 x^{2} + 120 x^{- 6}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 x^{2} + 120 \frac{1}{x^{6}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $120$ und $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} + \frac{120}{x^{6}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $60 x^{2} + \frac{120}{x^{6}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $60 x^{2}$ nach $x$ gleich $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{120}{x^{6}}$ nach $x$ gleich $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$120 x + 120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Schritt 4.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{6}}$ als ${(x^{6})}^{- 1}$ um.

$120 x + 120 \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{6}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{6}$ .

$120 x + 120 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Schritt 4.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$120 x + 120 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{6}$ .

$120 x + 120 (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$120 x + 120 (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Schritt 4.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$120 x + 120 (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$120 x + 120 (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$120 x + 120 (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Schritt 4.3.7

Multipliziere $x^{- 12}$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.7.1

Bewege $x^{5}$ .

$120 x + 120 (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Schritt 4.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$120 x + 120 (- 6 x^{5 - 12})$

Schritt 4.3.7.3

Subtrahiere $12$ von $5$ .

$120 x + 120 (- 6 x^{- 7})$

Schritt 4.3.8

Mutltipliziere $- 6$ mit $120$ .

$120 x - 720 x^{- 7}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$120 x - 720 \frac{1}{x^{7}}$

Schritt 4.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.2.1

Kombiniere $- 720$ und $\frac{1}{x^{7}}$ .

$120 x + \frac{- 720}{x^{7}}$

Schritt 4.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = 120 x - \frac{720}{x^{7}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $120 x - \frac{720}{x^{7}}$ .

$120 x - \frac{720}{x^{7}}$