Analysis Beispiele

$\int \sqrt{7 - x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \sqrt{7} \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sqrt{7} \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{7} \cos (t)$ positiv ist.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - {(\sqrt{7} \sin (t))}^{2}} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - {(\sqrt{7} \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $\sqrt{7} \sin (t)$ an.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere ${\sqrt{7}}^{2}$ aus $- ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{7}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere ${\sqrt{7}}^{2}$ aus ${\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{7}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ heraus.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 2.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \sqrt{7^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{7^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{7^{1} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\int \sqrt{7 \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

$\int \sqrt{7 \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Stelle $7$ und $\cos^{2} (t)$ um.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 7} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\int \cos (t) \sqrt{7} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Schritt 2.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Schritt 2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Schritt 2.2.5

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) d t$

Schritt 2.2.6

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) d t$

Schritt 2.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{7}}^{1 + 1} d t$

Schritt 2.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{7}}^{2} d t$

Schritt 2.2.9

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 2.2.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \cos^{2} (t) {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Schritt 2.2.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Schritt 2.2.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{2}{2}} d t$

Schritt 2.2.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{2}{2}} d t$

Schritt 2.2.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{1} d t$

Schritt 2.2.9.5

Berechne den Exponenten.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7 d t$

Schritt 2.2.10

Bringe $7$ auf die linke Seite von $\cos^{2} (t)$ .

$\int 7 \cos^{2} (t) d t$

Schritt 3

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int \cos^{2} (t) d t$

Schritt 4

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$7 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$7 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $7$ .

$\frac{7}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{7}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{7}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{7}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 10

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{7}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 12

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{7}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{7}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 14.3

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}))) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}))) + C$

Schritt 15.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}))) + C$

Schritt 15.1.2.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}))) + C$

Schritt 15.1.2.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}))) + C$

Schritt 15.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}))) + C$

Schritt 15.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}))) + C$

Schritt 15.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 15.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}))) + C$

Schritt 15.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}))) + C$

Schritt 15.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Schritt 15.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Schritt 15.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{1}}))) + C$

Schritt 15.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))) + C$

Schritt 15.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}) + C$

Schritt 15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7}{2} \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2} + C$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2} + C$

Schritt 15.4

Multipliziere $\frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}$ .

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Schritt 15.4.1

Mutltipliziere $\frac{7}{2}$ mit $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 15.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Schritt 16.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Schritt 16.2.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Schritt 16.2.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Schritt 16.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Schritt 16.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Schritt 16.2.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 16.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Schritt 16.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Schritt 16.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Schritt 16.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Schritt 16.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Schritt 16.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Schritt 16.3

Stelle die Terme um.

$\frac{7}{2} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{7} x) + \frac{7}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{7} x)) + C$