Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} \cos (x) d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{1} x^{2} \cos (x) d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = \cos (x)$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \sin (x) (2 x) d x)$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \sin (x) (x) d x))$

Schritt 4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \sin (x) (x) d x)$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (x)$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \cos (x) d x))$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \cos (x) d x))$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \cos (x) d x))$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\int_{0}^{1} \cos (x) d x$ mit $1$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \cos (x) d x))$

Schritt 8

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} + \sin (x)]_{0}^{1}))$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $x (- \cos (x))]_{0}^{1}$ und $\sin (x)]_{0}^{1}$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{1}))$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $x^{2} \sin (x)$ bei $1$ und $0$ .

$2 ((1^{2} \sin (1)) - 0^{2} \sin (0) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{1}))$

Schritt 9.2.2

Berechne $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ bei $1$ und $0$ .

$2 ((1^{2} \sin (1)) - 0^{2} \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Schritt 9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 9.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (1 \sin (1) - 0^{2} \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Schritt 9.2.3.2

Mutltipliziere $\sin (1)$ mit $1$ .

$2 (\sin (1) - 0^{2} \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Schritt 9.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 (\sin (1) - 0 \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Schritt 9.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (\sin (1) + 0 \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Schritt 9.2.3.5

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (0)$ .

$2 (\sin (1) + 0 - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Schritt 9.2.3.6

Addiere $\sin (1)$ und $0$ .

$2 (\sin (1) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Schritt 9.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Schritt 9.2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - (0 \cos (0) + \sin (0))))$

Schritt 9.2.3.9

Mutltipliziere $0$ mit $\cos (0)$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - (0 + \sin (0))))$

Schritt 9.2.3.10

Addiere $0$ und $\sin (0)$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - \sin (0)))$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - 0))$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) + 0))$

Schritt 9.3.3

Addiere $- \cos (1) + \sin (1)$ und $0$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1)))$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Berechne $\cos (1)$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- 1 \cdot 0.5403023 + \sin (1)))$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.5403023$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- 0.5403023 + \sin (1)))$

Schritt 9.4.3

Berechne $\sin (1)$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- 0.5403023 + 0.84147098))$

Schritt 9.4.4

Addiere $- 0.5403023$ und $0.84147098$ .

$2 (\sin (1) - 2 \cdot 0.30116867)$

Schritt 9.4.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.30116867$ .

$2 (\sin (1) - 0.60233735)$

Schritt 9.4.6

Berechne $\sin (1)$ .

$2 (0.84147098 - 0.60233735)$

Schritt 9.4.7

Subtrahiere $0.60233735$ von $0.84147098$ .

$2 \cdot 0.23913362$

Schritt 9.4.8

Mutltipliziere $2$ mit $0.23913362$ .

$0.47826725$