Analysis Beispiele

$y = \frac{\sec (x)}{1 + \tan (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 1 + \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 5

Multipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $\sec (x)$ .

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Schritt 5.2.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 \sec (x) + \tan (x) \sec (x)) \tan (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $\tan (x) \sec (x) \tan (x)$ .

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Schritt 6.3.1.2.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)$ heraus.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \tan (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.2.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\tan^{2} (x) \sec (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.2.3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- \sec^{3} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.2.4

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.2.5

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.3

Stelle $\tan^{2} (x)$ und $- \sec^{2} (x)$ um.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\tan^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.10

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) - 1 \cdot \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.11

Schreibe $- 1 \sec (x)$ als $- \sec (x)$ um.

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.4

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \tan (x) - \sec (x)$ heraus.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \tan (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- \sec (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$