Analysis Beispiele

$\int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} - 2 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Schritt 1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = \csc (x)$ . Dann ist $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , folglich $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \csc (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Schritt 2.1.3

Stelle die Faktoren von $- \csc (x) \cot (x)$ um.

$- \cot (x) \csc (x)$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \csc (x)$ ein.

$u_{lower} = \csc (- \frac{π}{2})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$u_{lower} = \csc (\frac{3 π}{2})$

Schritt 2.3.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosekans im vierten Quadranten negativ ist.

$u_{lower} = - \csc (\frac{π}{2})$

Schritt 2.3.3

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \csc (x)$ ein.

$u_{upper} = \csc (- \frac{π}{4})$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$u_{upper} = \csc (\frac{7 π}{4})$

Schritt 2.5.2

$u_{upper} = - \csc (\frac{π}{4})$

Schritt 2.5.3

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{4})$ ist $\sqrt{2}$ .

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - 1 u d u$

Schritt 3

Schreibe $- 1 u$ als $- u$ um.

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - u d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 2 (- \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{u^{2}}{2}$ bei $- \sqrt{2}$ und $- 1$ .

$2 ((\frac{{(- \sqrt{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{2}$ heraus.

$2 (\frac{{(- (\sqrt{2}))}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 8.2.2

Wende die Produktregel auf $- (\sqrt{2})$ an.

$2 (\frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (\frac{1 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 8.2.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 (\frac{1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 8.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 8.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 8.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 8.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{1}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 8.2.4.5

Berechne den Exponenten.

$2 (\frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 8.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 8.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 8.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 8.2.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (1 - \frac{1}{2})$

Schritt 8.2.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 8.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{2 - 1}{2}$

Schritt 8.2.10

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Schritt 8.2.11

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2}$

Schritt 8.2.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2}$

Schritt 8.2.12.2

Forme den Ausdruck um.

$1$