Analysis Beispiele

$\sqrt{x} + \frac{1}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{x} + \frac{1}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{x} + \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sqrt{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Vereinfache.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \ln (| x |) + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \ln (| x |) + C$