Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sqrt{1 + \sin (x)} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + \sin (x)$ ein.

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + \sin (x)$ ein.

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $2$ und $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $2$ mit $2^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.2.4

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Dezimalform:

$1.21895141 \dots$