Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{1} (\frac{27}{x^{4}} - 3) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 1}^{1} \frac{27}{x^{4}} - 3 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{1} \frac{27}{x^{4}} d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 3

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $27$ aus dem Integral.

$27 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x^{4}} d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$27 \int_{- 1}^{1} {(x^{4})}^{- 1} d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \int_{- 1}^{1} x^{4 \cdot - 1} d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$27 \int_{- 1}^{1} x^{- 4} d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$27 (- \frac{1}{3} x^{- 3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$27 (- \frac{x^{- 3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 6.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$27 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$27 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $- \frac{1}{3 x^{3}}$ bei $1$ und $- 1$ .

$27 ((- \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}) + \frac{1}{3 {(- 1)}^{3}}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Schritt 8.2

Berechne $- 3 x$ bei $1$ und $- 1$ .

$27 ((- \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}) + \frac{1}{3 {(- 1)}^{3}}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$27 (- \frac{1}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3 {(- 1)}^{3}}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$27 (- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 {(- 1)}^{3}}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$27 (- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot - 1}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$27 (- \frac{1}{3} + \frac{1}{- 3}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$27 (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.6

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von $- \frac{1}{3}$ .

$27 (- 2 (\frac{1}{3})) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.7

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$27 (\frac{- 2}{3}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$27 (- \frac{2}{3}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$- 27 (\frac{2}{3}) + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.10

Kombiniere $- 27$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 27 \cdot 2}{3} + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.11

Mutltipliziere $- 27$ mit $2$ .

$\frac{- 54}{3} + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 54$ und $3$ .

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Schritt 8.3.12.1

Faktorisiere $3$ aus $- 54$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 18}{3} + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 18}{3 (1)} + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1} + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 18}{1} + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.12.2.4

Dividiere $- 18$ durch $1$ .

$- 18 + (- 3 \cdot 1) + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.13

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 18 - 3 + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.3.14

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 18 - 3 - 3$

Schritt 8.3.15

Subtrahiere $3$ von $- 3$ .

$- 18 - 6$

Schritt 8.3.16

Subtrahiere $6$ von $- 18$ .

$- 24$

Schritt 9