Analysis Beispiele

$\sqrt{2 x - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{2 x - x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{2 x - x^{2}} d x$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Stelle $2 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 2 x$

Schritt 4.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 4.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.4.2.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Schritt 4.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$d = - 1$

Schritt 4.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Schritt 4.5.2.1.3

Dividiere $4$ durch $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Schritt 4.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Schritt 4.5.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$e = 1$

Schritt 4.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - 1)}^{2} + 1$ ein.

$\int \sqrt{- {(x - 1)}^{2} + 1} d x$

Schritt 5

Sei $u_{1} = x - 1$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Es sei $u_{1} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{1} = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$\int \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache $\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Stelle $- \sin^{2} (t)$ und $1$ um.

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 7.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 7.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

Schritt 7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Schritt 7.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Schritt 7.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 7.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Schritt 8

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 12

Sei $u_{2} = 2 t$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Es sei $u_{2} = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 12.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 13

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 14

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 15

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Schritt 16

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 17

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 17.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 17.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 17.4

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (u_{1}))) + C$

Schritt 17.5

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x - 1))) + C$

Schritt 18

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 \arcsin (x - 1))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}) + C$

Schritt 18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

Schritt 18.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arcsin (x - 1)$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

Schritt 18.4

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 18.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{4} + C$

Schritt 19

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$

Schritt 20

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$