Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 2} \frac{3 \cos (x + 2) + x}{4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 \cos (x + 2) + x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 \cos (x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to - 2} \cos (x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 lim_{x \to - 2} \ln (- 3 - 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (lim_{x \to - 2} - 3 - 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- lim_{x \to - 2} 3 - lim_{x \to - 2} 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- 1 \cdot 3 - lim_{x \to - 2} 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Schritt 12

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- 3 - 2 lim_{x \to - 2} x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Schritt 13

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- 3 - 2 lim_{x \to - 2} x) + {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 2$ für alle $x$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{3 \cos (- 2 + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- 3 - 2 lim_{x \to - 2} x) + {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{3 \cos (- 2 + 2) - 2}{4 \ln (- 3 - 2 lim_{x \to - 2} x) + {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Schritt 14.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{3 \cos (- 2 + 2) - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Schritt 14.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{3 \cos (- 2 + 2) - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{3 \cos (0) - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

Schritt 15.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

Schritt 15.1.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

Schritt 15.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{4 \ln (- 3 + 4) + {(- 2)}^{3}}$

Schritt 15.2.2

Addiere $- 3$ und $4$ .

$\frac{1}{4 \ln (1) + {(- 2)}^{3}}$

Schritt 15.2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{1}{4 \cdot 0 + {(- 2)}^{3}}$

Schritt 15.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{0 + {(- 2)}^{3}}$

Schritt 15.2.5

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{1}{0 - 8}$

Schritt 15.2.6

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$\frac{1}{- 8}$

Schritt 15.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{8}$