Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 3.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 8.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 8.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 8.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 8.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 8.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + C$