Analysis Beispiele

$4 x = - 2 y^{2} + x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 x) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{2} + x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 y^{2} + x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 y y' + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- 4 y y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 4 y y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 y y' + x y' + y \cdot 1$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 4 y y' + x y' + y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 = - 4 y y' + x y' + y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 y y' + x y' + y = 4$ um.

$- 4 y y' + x y' + y = 4$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y y' + x y' = 4 - y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 y y' + x y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 y y'$ heraus.

$y' (- 4 y) + x (y') = 4 - y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' (- 4 y) + y' (x) = 4 - y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 4 y) + y' (x)$ heraus.

$y' (- 4 y + x) = 4 - y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 4 y + x) = 4 - y$ durch $- 4 y + x$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 4 y + x) = 4 - y$ durch $- 4 y + x$ .

$\frac{y' (- 4 y + x)}{- 4 y + x} = \frac{4}{- 4 y + x} + \frac{- y}{- 4 y + x}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4 y + x$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 4 y + x)}{- 4 y + x} = \frac{4}{- 4 y + x} + \frac{- y}{- 4 y + x}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4}{- 4 y + x} + \frac{- y}{- 4 y + x}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{4 - y}{- 4 y + x}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 y$ heraus.

$y' = \frac{4 - y}{- (4 y) + x}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$y' = \frac{4 - y}{- (4 y) - 1 (- x)}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 y) - 1 (- x)$ heraus.

$y' = \frac{4 - y}{- (4 y - x)}$

Schritt 5.4.3.5

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.4.3.5.1

Schreibe $- (4 y - x)$ als $- 1 (4 y - x)$ um.

$y' = \frac{4 - y}{- 1 (4 y - x)}$

Schritt 5.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4 - y}{4 y - x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 - y}{4 y - x}$