Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})$

Schritt 2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$0 + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$0 + 4 lim_{x \to \infty} \cos (\frac{5}{x})$

Schritt 3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$0 + 4 \cos (lim_{x \to \infty} \frac{5}{x})$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$0 + 4 \cos (5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$0 + 4 \cos (5 \cdot 0)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$0 + 4 \cos (0)$

Schritt 5.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$0 + 4$

Schritt 5.2

Addiere $0$ und $4$ .

$4$