Analysis Beispiele

$y = x \ln (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x \ln (x))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \ln (y)$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $x$ .

$\frac{x}{x} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $\frac{d}{d y} [x]$ mit $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' + \ln (x) x'$

Schritt 3.6

Stelle die Terme um.

$\ln (x) x' + x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \ln (x) x' + x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (x) x' + x' = 1$ um.

$\ln (x) x' + x' = 1$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $\ln (x) x' + x'$ um.

$x' \ln (x) + x' = 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' \ln (x) + x'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x'$ aus $x' \ln (x)$ heraus.

$x' (\ln (x)) + x' = 1$

Schritt 5.3.2

Potenziere $x'$ mit $1$ .

$x' (\ln (x)) + x' = 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x'$ aus ${x'}^{1}$ heraus.

$x' (\ln (x)) + x' \cdot 1 = 1$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $x'$ aus $x' (\ln (x)) + x' \cdot 1$ heraus.

$x' (\ln (x) + 1) = 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x' (\ln (x) + 1) = 1$ durch $\ln (x) + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (\ln (x) + 1) = 1$ durch $\ln (x) + 1$ .

$\frac{x' (\ln (x) + 1)}{\ln (x) + 1} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x) + 1$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (\ln (x) + 1)}{\ln (x) + 1} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$