Analysis Beispiele

$\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \int x^{- 2} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} d x$

Schritt 10

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 \int x^{2} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$- \frac{4}{x} + x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} - 3 \frac{x^{3}}{3} + C$

Schritt 12.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{- 3 x^{3}}{3} + C$

Schritt 12.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 12.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3} + C$

Schritt 12.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 (1)} + C$

Schritt 12.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Schritt 12.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{- x^{3}}{1} + C$

Schritt 12.2.3.2.4

Dividiere $- x^{3}$ durch $1$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} - x^{3} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{x} + x^{2} - x^{3} + C$