Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{3 \ln (3 x - 2)}{5 x - 5}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 1} \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Schritt 1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Schritt 1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Schritt 1.2.1.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Schritt 1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{3 \ln (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 \ln (3 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3 \ln (3 - 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Schritt 1.2.3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Schritt 1.2.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 5}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5}$

Schritt 1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 1 - 1 \cdot 5}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{3 \ln (3 x - 2)}{5 x - 5} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \ln (3 x - 2)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x - 2$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (\frac{1}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{1}{3 x - 2}$ und $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Schritt 3.6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Schritt 3.9

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Schritt 3.10

Addiere $3$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Schritt 3.11

Kombiniere $\frac{3}{3 x - 2}$ und $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 \cdot 3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Schritt 3.13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Schritt 3.14

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 3.14.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Schritt 3.14.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Schritt 3.14.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Schritt 3.15

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5 + 0}$

Schritt 3.16

Addiere $5$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{9}{3 x - 2} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{9}{3 x - 2}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{9}{(3 x - 2) \cdot 5}$

Schritt 5.2

Ziehe den Term $\frac{9}{5}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{9}{5} lim_{x \to 1} \frac{1}{3 x - 2}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{9}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 3 x - 2}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - 2}$

Schritt 5.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2}$

Schritt 5.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}$

Schritt 5.7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 - 1 \cdot 2}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 - 2}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{5} \cdot 1$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\frac{9}{5}$ mit $1$ .

$\frac{9}{5}$