Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{5} + 1}{x + x^{3}}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x^{5}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $4 x^{5}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3} (4 x^{2})}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3} (4 x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3} (4 x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.1.2.4

Dividiere $4 x^{2}$ durch $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{1}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} + 1}$

Schritt 3

Da $x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ an.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + 0}{\frac{1}{x^{2}} + 1}$

Schritt 4

Da $x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ an.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + 0}{0 + 1}$

Schritt 5

Da sein Zähler ohne Grenze ist, während der Nenner gegen eine Konstante geht, geht der Bruch $\frac{4 x^{2} + 0}{0 + 1}$ gegen unendlich.

$\infty$