Analysis Beispiele

$\arctan (4 X)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [f (g (X))]$ ist $f' (g (X)) g' (X)$ , mit $f (X) = \arctan (X)$ und $g (X) = 4 X$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 X$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d X} [4 X]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d X} [4 X]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 X$ .

$\frac{1}{1 + {(4 X)}^{2}} \frac{d}{d X} [4 X]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 X$ heraus.

$\frac{1}{1 + {(4 (X))}^{2}} \frac{d}{d X} [4 X]$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $4 (X)$ an.

$\frac{1}{1 + 4^{2} X^{2}} \frac{d}{d X} [4 X]$

Schritt 2.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + 16 X^{2}} \frac{d}{d X} [4 X]$

Schritt 2.3

Da $4$ konstant bezüglich $X$ ist, ist die Ableitung von $4 X$ nach $X$ gleich $4 \frac{d}{d X} [X]$ .

$\frac{1}{1 + 16 X^{2}} (4 \frac{d}{d X} [X])$

Schritt 2.4

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{1 + 16 X^{2}}$ .

$\frac{4}{1 + 16 X^{2}} \frac{d}{d X} [X]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ gleich $n X^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4}{1 + 16 X^{2}} \cdot 1$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $\frac{4}{1 + 16 X^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{4}{1 + 16 X^{2}}$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{16 X^{2} + 1}$