Analysis Beispiele

$\tan^{2} (2 x)$

Schritt 1

Schreibe $\tan^{2} (2 x)$ als Funktion.

$f (x) = \tan^{2} (2 x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \tan^{2} (2 x) d x$

Schritt 4

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \tan^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\tan^{2} (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u)}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u) d u$

Schritt 7

Schreibe $\tan^{2} (u)$ in $- 1 + \sec^{2} (u)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

Schritt 10

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$\frac{1}{2} (- u + C + \tan (u) + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (- u + \tan (u)) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- (2 x) + \tan (2 x)) + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 x + \tan (2 x)) + C$

Schritt 13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Schritt 13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Schritt 13.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Schritt 13.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Schritt 13.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\tan (2 x)$ .

$- x + \frac{\tan (2 x)}{2} + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \tan^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ $- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$