Analysis Beispiele

$\int \frac{1 + \cos (x)}{x + \sin (x)} d x$

Schritt 1

Sei $u = x + \sin (x)$ . Dann ist $d u = (1 + \cos (x)) d x$ , folglich $\frac{1}{1 + \cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x + \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u$ durch $x + \sin (x)$ .

$\ln (| x + \sin (x) |) + C$