Analysis Beispiele

$\tan (x) \sin (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) + \sin (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$\cos (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.1

Stelle $\cos (x)$ und $\tan (x)$ um.

$\tan (x) \cos (x) + \sec^{2} (x) \sin (x)$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe $\cos (x) \tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sec^{2} (x) \sin (x)$

Schritt 4.2.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\sin (x) + \sec^{2} (x) \sin (x)$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x)$

Schritt 4.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\sin (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Schritt 4.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sin (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Schritt 4.2.5

Kombiniere $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 4.3.2

Separiere Brüche.

$\sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.3.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Schritt 4.3.4

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\sin (x) + \sec (x) \tan (x)$