Analysis Beispiele

$\int 16 x^{2} \sqrt[3]{7 - 4 x^{3}} d x$

Schritt 1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$16 \int x^{2} \sqrt[3]{7 - 4 x^{3}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 7 - 4 x^{3}$ . Dann ist $d u = - 12 x^{2} d x$ , folglich $- \frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 7 - 4 x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $7 - 4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 4 x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - 4 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 - 4 (3 x^{2})$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$0 - 12 x^{2}$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $12 x^{2}$ von $0$ .

$- 12 x^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$16 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 12} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$16 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{12}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $\sqrt[3]{u}$ und $\frac{1}{12}$ .

$16 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$16 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$- 16 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{12}$ aus dem Integral.

$- 16 (\frac{1}{12} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $- 16$ .

$\frac{- 16}{12} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $12$ .

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{4 (- 4)}{12} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 7.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 7.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 7.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 7.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 7.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{4}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $- \frac{4}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ als $- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ um.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 3} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- \frac{12}{4 \cdot 3} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{12}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 9.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 9.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{12}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 9.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1 u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 9.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $7 - 4 x^{3}$ .

$- {(7 - 4 x^{3})}^{\frac{4}{3}} + C$