Analysis Beispiele

$y = x \ln (x) - x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \ln (x) - x)$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \ln (x) - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \ln (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \ln (x) - 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + \ln (x) - 1$

Schritt 3.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 + \ln (x)$

Schritt 3.4.2

Addiere $0$ und $\ln (x)$ .

$\ln (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \ln (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (x)$