Analysis Beispiele

$\cos (x^{2} + y) = x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\cos (x^{2} + y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{2} + y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + y$ .

$- \sin (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (x^{2} + y) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + y')$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$ durch $- \sin (x^{2} + y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$ durch $- \sin (x^{2} + y)$ .

$\frac{- \sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{- \sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{\sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Schritt 5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x^{2} + y)$ .

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Schritt 5.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{\sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Schritt 5.1.2.2.2

Dividiere $2 x + y'$ durch $1$ .

$2 x + y' = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.1.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$2 x + y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \sin (x^{2} + y)}$

Schritt 5.1.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x + y' = - \frac{1}{\sin (x^{2} + y)}$

Schritt 5.1.3.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x^{2} + y)}$ nach $\csc (x^{2} + y)$ um.

$2 x + y' = - \csc (x^{2} + y)$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' = - \csc (x^{2} + y) - 2 x$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (x^{2} + y) - 2 x$