Analysis Beispiele

$| x | + 2 | 1 - x |$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $| x | + 2 | 1 - x |$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ .

$\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

Schritt 2

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 | 1 - x |$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 1 - x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1 \cdot 1))$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1))$

Schritt 3.8

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \cdot - 1)$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ und $- 1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{(1 - x) \cdot - 1}{| 1 - x |}$

Schritt 3.10

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- 1 \cdot (1 - x)}{| 1 - x |}$

Schritt 3.11

Schreibe $- 1 (1 - x)$ als $- (1 - x)$ um.

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- (1 - x)}{| 1 - x |}$

Schritt 3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x}{| x |} + 2 (- \frac{1 - x}{| 1 - x |})$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x}{| x |} - 2 \frac{1 - x}{| 1 - x |}$

Schritt 3.14

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ .

$\frac{x}{| x |} + \frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Schritt 3.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$