Analysis Beispiele

$f (x) = 1 - \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 1 - \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int - \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int - \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x + C - \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$x + C - \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + C - \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x + C - \int x^{- 4} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$x + C - (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$x + C - (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Schritt 8.1.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$x + \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 1 - \frac{1}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{3 x^{3}} + C$