Analysis Beispiele

$2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3} = y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 y y' + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 y y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 y y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$4 y y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 y y' + 0 - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Addiere $4 y y'$ und $0$ .

$4 y y' - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y'$

Schritt 3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' = y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $4 y y' - 3 y^{2} y' - y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $4 y y'$ heraus.

$y' (4 y) - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) - y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (4 y) + y' (- 3 y^{2})$ heraus.

$y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (4 y - 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.4

Es sei $u = y$ . Ersetze $u$ für alle $y$ .

$y' (4 u - 3 u^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.5.1

Stelle die Terme um.

$y' (- 3 u^{2} + 4 u - 1) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.5.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot - 1 = 3$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 u$ heraus.

$y' (- 3 u^{2} + 4 (u) - 1) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.5.2.2

Schreibe $4$ um als $1$ plus $3$

$y' (- 3 u^{2} + (1 + 3) u - 1) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y' (- 3 u^{2} + 1 u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.5.2.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$y' (- 3 u^{2} + u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.5.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.5.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y' ((- 3 u^{2} + u) + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.5.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y' (u (- 3 u + 1) - (- 3 u + 1)) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.5.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 u + 1$ .

$y' ((- 3 u + 1) (u - 1)) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.6

Faktorisiere.

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Schritt 5.6.1

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$y' ((- 3 y + 1) (y - 1)) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.7

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ durch $(- 3 y + 1) (y - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ durch $(- 3 y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Schritt 5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 y + 1$ .

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Schritt 5.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Schritt 5.7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Schritt 5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 5.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Schritt 5.7.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Schritt 5.7.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y$ heraus.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) + 1) (y - 1)}$

Schritt 5.7.3.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) - 1 (- 1)) (y - 1)}$

Schritt 5.7.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 y) - 1 (- 1)$ heraus.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 5.7.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.7.3.5.1

Schreibe $- (3 y - 1)$ als $- 1 (3 y - 1)$ um.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 1 (3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 5.7.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 5.7.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 5.7.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$ mit $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$