Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} \sin (x) {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - \cos (x)$ . Dann ist $d u = \sin (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$0 + \sin (x)$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - \cos (x)$ ein.

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - \cos (x)$ ein.

$u_{upper} = 1 - \cos (π)$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$u_{upper} = 1 - - \cos (0)$

Schritt 1.5.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1 - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.5.1.3

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 1.5.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 - - 1$

Schritt 1.5.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{2} u^{2} d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{2}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $2$ und $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Schritt 3.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 0$

Schritt 3.2.6

Addiere $\frac{8}{3}$ und $0$ .

$\frac{8}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{8}{3}$

Dezimalform:

$2.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{2}{3}$