Analysis Beispiele

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} (h - \frac{4 h}{b^{2}} x^{2}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h - \frac{4 h}{b^{2}} \cdot x^{2} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{4 h}{b^{2}}$ .

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h - \frac{x^{2} (4 h)}{b^{2}} d x$

Schritt 2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h - \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h d x + \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} + \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

Schritt 6

Da $\frac{4 h}{b^{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{4 h}{b^{2}}$ aus dem Integral.

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - (\frac{4 h}{b^{2}} \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} x^{2} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 h}{b^{2}} \frac{1}{3} x^{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 h}{b^{2}} \frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$ und $\frac{4 h}{b^{2}}$ .

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} (4 h)}{b^{2}}$

Schritt 8.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$ .

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $h x$ bei $\frac{b}{2}$ und $- \frac{b}{2}$ .

$(h \frac{b}{2}) - h (- \frac{b}{2}) - \frac{4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $\frac{b}{2}$ und $- \frac{b}{2}$ .

$(h \frac{b}{2}) - h (- \frac{b}{2}) - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Kombiniere $h$ und $\frac{b}{2}$ .

$\frac{h b}{2} - h (- \frac{b}{2}) - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{h b}{2} + 1 h \frac{b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.3.3

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$\frac{h b}{2} + h \frac{b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.3.4

Kombiniere $h$ und $\frac{b}{2}$ .

$\frac{h b}{2} + \frac{h b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.3.5

Addiere $\frac{h b}{2}$ und $\frac{h b}{2}$ .

$2 \frac{h b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.3.6

Kombiniere $2$ und $\frac{h b}{2}$ .

$\frac{2 (h b)}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 h b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.3.7.2

Dividiere $h b$ durch $1$ .

$h b - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{b}{2}$ heraus.

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - \frac{{(- (\frac{b}{2}))}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.3.9

Wende die Produktregel auf $- (\frac{b}{2})$ an.

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.3.10

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - \frac{- {(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - - \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} + 1 \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.3.13

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}$ mit $1$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} + \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.3.14

Addiere $\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}$ und $\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}$ .

$h b - \frac{4 (2 \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Schritt 8.2.3.15

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$h b - \frac{8 \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} h}{b^{2}}$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$h b - \frac{8 (\frac{1}{3}) {(\frac{1}{2} b)}^{3} h}{b^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{3}$ .

$h b - \frac{\frac{8}{3} {(\frac{1}{2} b)}^{3} h}{b^{2}}$

Schritt 9.1.2

Kombiniere $\frac{8}{3}$ und ${(\frac{1}{2} b)}^{3}$ .

$h b - \frac{\frac{8 {(\frac{1}{2} b)}^{3}}{3} h}{b^{2}}$

Schritt 9.1.3

Kombiniere $\frac{8 {(\frac{1}{2} b)}^{3}}{3}$ und $h$ .

$h b - \frac{\frac{8 {(\frac{1}{2} b)}^{3} h}{3}}{b^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $b$ .

$h b - \frac{\frac{8 {(\frac{b}{2})}^{3} h}{3}}{b^{2}}$

Schritt 9.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{b}{2}$ an.

$h b - \frac{\frac{8 \frac{b^{3}}{2^{3}} h}{3}}{b^{2}}$

Schritt 9.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$h b - \frac{\frac{8 \frac{b^{3}}{8} h}{3}}{b^{2}}$

Schritt 9.2.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 9.2.4.1

Kombiniere $8$ und $\frac{b^{3}}{8}$ .

$h b - \frac{\frac{\frac{8 b^{3}}{8} h}{3}}{b^{2}}$

Schritt 9.2.4.2

Kombiniere $\frac{8 b^{3}}{8}$ und $h$ .

$h b - \frac{\frac{\frac{8 b^{3} h}{8}}{3}}{b^{2}}$

Schritt 9.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.5.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{8 b^{3} h}{8}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h b - \frac{\frac{\frac{8 b^{3} h}{8}}{3}}{b^{2}}$

Schritt 9.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$h b - \frac{\frac{\frac{b^{3} h}{1}}{3}}{b^{2}}$

Schritt 9.2.5.2

Dividiere $b^{3} h$ durch $1$ .

$h b - \frac{\frac{b^{3} h}{3}}{b^{2}}$

Schritt 9.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$h b - (\frac{b^{3} h}{3} \cdot \frac{1}{b^{2}})$

Schritt 9.4

Kombinieren.

$h b - \frac{b^{3} h \cdot 1}{3 b^{2}}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $b^{3}$ und $b^{2}$ .

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{3} h \cdot 1$ heraus.

$h b - \frac{b^{2} (b h \cdot 1)}{3 b^{2}}$

Schritt 9.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.5.2.1

Faktorisiere $b^{2}$ aus $3 b^{2}$ heraus.

$h b - \frac{b^{2} (b h \cdot 1)}{b^{2} \cdot 3}$

Schritt 9.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h b - \frac{b^{2} (b h \cdot 1)}{b^{2} \cdot 3}$

Schritt 9.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$h b - \frac{b h \cdot 1}{3}$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$h b - \frac{b h}{3}$