Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{4 - 9 x^{2}}{2 - 3 x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{2}{3}} 4 - 9 x^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{2}{3}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{2}{3}} 4 - lim_{x \to \frac{2}{3}} 9 x^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{2}{3}$ annähert.

$\frac{4 - lim_{x \to \frac{2}{3}} 9 x^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 - 9 lim_{x \to \frac{2}{3}} x^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Schritt 1.1.2.1.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 - 9 {(lim_{x \to \frac{2}{3}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{2}{3}$ für $x$ .

$\frac{4 - 9 {(\frac{2}{3})}^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$\frac{4 - 9 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 9 \frac{4}{3^{2}}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{4 - 9 (\frac{4}{9})}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$\frac{4 + 9 (- 1) \frac{4}{9}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Schritt 1.1.2.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 + 9 \cdot - 1 \frac{4}{9}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Schritt 1.1.2.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Schritt 1.1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{2}{3}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - lim_{x \to \frac{2}{3}} 3 x}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{2}{3}$ annähert.

$\frac{0}{2 - lim_{x \to \frac{2}{3}} 3 x}$

Schritt 1.1.3.1.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 - 3 lim_{x \to \frac{2}{3}} x}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{2}{3}$ für $x$ .

$\frac{0}{2 - 3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{0}{2 + 3 (- 1) \frac{2}{3}}$

Schritt 1.1.3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{2 + 3 \cdot - 1 \frac{2}{3}}$

Schritt 1.1.3.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{4 - 9 x^{2}}{2 - 3 x} = lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [4 - 9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [4 - 9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 9 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Schritt 1.3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{0 - 9 (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{0 - 18 x}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $18 x$ von $0$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 1.3.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{0 - 3 \cdot 1}$

Schritt 1.3.8.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{0 - 3}$

Schritt 1.3.9

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{- 3}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $- 3$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 18 x$ heraus.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 3 (6 x)}{- 3}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3$ heraus.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 3 (6 x)}{- 3 (1)}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 3 (6 x)}{- 3 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{6 x}{1}$

Schritt 1.4.2.4

Dividiere $6 x$ durch $1$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} 6 x$

Schritt 2

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 lim_{x \to \frac{2}{3}} x$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{2}{3}$ für $x$ .

$6 (\frac{2}{3})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 (2) \frac{2}{3}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 2 \frac{2}{3}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 2$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$