Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - \cos (x)$ . Dann ist $d u = \sin (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$0 + \sin (x)$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - \cos (x)$ ein.

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - \cos (x)$ ein.

$u_{upper} = 1 - \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$u_{upper} = 1 - 0$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u} d u$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{0}^{1}$

Schritt 3

Berechne $\ln (| u |)$ bei $1$ und $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| 0 |)$

Schritt 4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

Schritt 5.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

Schritt 6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert