Analysis Beispiele

$y = - {(- 8 x^{2} - 1)}^{4}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- {(- 8 x^{2} - 1)}^{4})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(- 8 x^{2} - 1)}^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(- 8 x^{2} - 1)}^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(- 8 x^{2} - 1)}^{4}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = - 8 x^{2} - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 8 x^{2} - 1$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [- 8 x^{2} - 1])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- (4 u^{3} \frac{d}{d x} [- 8 x^{2} - 1])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 8 x^{2} - 1$ .

$- (4 {(- 8 x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [- 8 x^{2} - 1])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 ({(- 8 x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [- 8 x^{2} - 1])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 8 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 4 {(- 8 x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.3.3

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 {(- 8 x^{2} - 1)}^{3} (- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 {(- 8 x^{2} - 1)}^{3} (- 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$- 4 {(- 8 x^{2} - 1)}^{3} (- 16 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 {(- 8 x^{2} - 1)}^{3} (- 16 x + 0)$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.7.1

Addiere $- 16 x$ und $0$ .

$- 4 {(- 8 x^{2} - 1)}^{3} (- 16 x)$

Schritt 3.3.7.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 4$ .

$64 {(- 8 x^{2} - 1)}^{3} x$

Schritt 3.3.7.3

Stelle die Faktoren von $64 {(- 8 x^{2} - 1)}^{3} x$ um.

$64 x {(- 8 x^{2} - 1)}^{3}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 64 x {(- 8 x^{2} - 1)}^{3}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 64 x {(- 8 x^{2} - 1)}^{3}$