Analysis Beispiele

$\int \frac{\sqrt{x} - x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Schritt 1.1.2

Um $\sqrt{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Schritt 1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 1.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3} x^{2}} d x$

Schritt 1.3.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3 + 2}} d x$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $3$ und $2$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3} - 1}{x^{5}} d x$

Schritt 2.2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{x^{\frac{1 + 6}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Schritt 2.2.5.2

Addiere $1$ und $6$ .

$\int \frac{x^{\frac{7}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bringe $x^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{5 \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{- 5} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{\frac{7}{2}} x^{- 5} - 1 x^{- 5} d x$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{\frac{7}{2} - 5} - 1 x^{- 5} d x$

Schritt 4.3

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{7}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{7}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{7 - 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\int x^{\frac{7 - 10}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $10$ von $7$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Schritt 4.7

Stelle $x^{\frac{- 3}{2}}$ und $- 1 x^{- 5}$ um.

$\int - 1 x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe $- 1 x^{- 5}$ als $- x^{- 5}$ um.

$\int - x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Schritt 5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - x^{- 5} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Kombiniere $x^{- 4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 9.2

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Schritt 11

Vereinfache.

$\frac{1}{4 x^{4}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$