Analysis Beispiele

$x - \ln (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{1}{x}$

Schritt 1.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 1$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.8

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $\frac{1}{x^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$