Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{4}{x}}{4 - x}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{x} - \frac{4}{x}}{4 - x}$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4}{x}}{4 - x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{x} \cdot \frac{1}{4 - x}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{x - 4}{x}$ mit $\frac{1}{4 - x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{x (4 - x)}$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 4$ und $4 - x$ .

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$lim_{x \to 4} \frac{- 1 (- x) - 4}{x (4 - x)}$

Schritt 2.1.3.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$lim_{x \to 4} \frac{- 1 (- x) - 1 (4)}{x (4 - x)}$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (4)$ heraus.

$lim_{x \to 4} \frac{- 1 (- x + 4)}{x (4 - x)}$

Schritt 2.1.3.4

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 4} \frac{- 1 (- x + 4)}{x (- x + 4)}$

Schritt 2.1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 4} \frac{- 1 (- x + 4)}{x (- x + 4)}$

Schritt 2.1.3.6

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{x}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} - 1}{lim_{x \to 4} x}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $- 1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{- 1}{lim_{x \to 4} x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{- 1}{4}$

Schritt 4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{4}$

Dezimalform:

$- 0.25$