Analysis Beispiele

$a e^{- a x}$

Schritt 1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a e^{- a x}$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [e^{- a x}]$ .

$a \frac{d}{d x} [e^{- a x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - a x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- a x$ .

$a (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- a x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$a (e^{u} \frac{d}{d x} [- a x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $- a x$ .

$a (e^{- a x} \frac{d}{d x} [- a x])$

Schritt 3

Da $- a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- a x$ nach $x$ gleich $- a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a (e^{- a x} (- a \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4

Potenziere $a$ mit $1$ .

$a^{1} a (e^{- a x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5

Potenziere $a$ mit $1$ .

$a^{1} a^{1} (e^{- a x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{1 + 1} (e^{- a x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$a^{2} (e^{- a x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$a^{2} (e^{- a x} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$a^{2} (e^{- a x} \cdot - 1)$

Schritt 9.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- a x}$ .

$a^{2} (- 1 \cdot e^{- a x})$

Schritt 9.3

Schreibe $- 1 e^{- a x}$ als $- e^{- a x}$ um.

$a^{2} (- e^{- a x})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Stelle die Faktoren von $a^{2} (- e^{- a x})$ um.

$- e^{- a x} a^{2}$

Schritt 10.2

Stelle die Faktoren in $- e^{- a x} a^{2}$ um.

$- a^{2} e^{- a x}$