Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x \sqrt{16 x^{2} - 5}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4}$ positiv ist.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 {(\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t))}^{2} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{16 {(\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t))}^{2} - 5}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{5}}{4}$ und $\sec (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 {(\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4})}^{2} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4}$ an.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{{(\sqrt{5} \sec (t))}^{2}}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.1.2.2

Wende die Produktregel auf $\sqrt{5} \sec (t)$ an.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{{\sqrt{5}}^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.1.3

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.1.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{1} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5 \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.1.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5 \sec^{2} (t)}{16} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5 \sec^{2} (t)}{16} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 \sec^{2} (t) - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 (\sec^{2} (t)) - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 \sec^{2} (t) + 5 \cdot - 1}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $5$ aus $5 \sec^{2} (t) + 5 \cdot - 1$ heraus.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.6

Stelle $5$ und $\tan^{2} (t)$ um.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{\tan^{2} (t) \cdot 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) (\tan (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{5}}{4}$ und $\sec (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4} (\tan (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\tan (t)$ und $\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{5} \sec (t))}{4} \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{\tan (t) (\sqrt{5} \sec (t))}{4}$ und $\sqrt{5}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{5} \sec (t)) \sqrt{5}}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2.4

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2.5

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{1 + 1} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{2} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2.8

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.2.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{1} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2.8.5

Berechne den Exponenten.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5 \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\tan (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{5 \cdot \tan (t) \sec (t)}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2.10

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{5 \tan (t) \sec (t)}{4}$ zu dividieren.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} 1 \frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)} \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2.11

Mutltipliziere $\frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)}$ mit $1$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Schritt 2.2.12

Mutltipliziere $\frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)}$ mit $\frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{5 \tan (t) \sec (t) \cdot 4} d t$

Schritt 2.2.13

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{20 \tan (t) \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.14.1

Faktorisiere $4$ aus $20 \tan (t) \sec (t)$ heraus.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{4 (5 \tan (t) \sec (t))} d t$

Schritt 2.2.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{4 (5 \tan (t) \sec (t))} d t$

Schritt 2.2.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{5 \tan (t) \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (t)$ .

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Schritt 2.2.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{5 \tan (t) \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.15.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \tan (t)}{5 \tan (t)} d t$

Schritt 2.2.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (t)$ .

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Schritt 2.2.16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \tan (t)}{5 \tan (t)} d t$

Schritt 2.2.16.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5}}{5} d t$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{\sqrt{5}}{5} t]_{0.97759655}^{1.4305831}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $\frac{\sqrt{5}}{5} t$ bei $1.4305831$ und $0.97759655$ .

$(\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 1.4305831) - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0.97759655$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{5}}{5}$ und $1.4305831$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot 1.4305831}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0.97759655$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $\sqrt{5}$ mit $1.4305831$ .

$\frac{3.19888106}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0.97759655$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $0.97759655$ mit $- 1$ .

$\frac{3.19888106}{5} - 0.97759655 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $- 0.97759655$ und $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{3.19888106}{5} + \frac{- 0.97759655 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $- 0.97759655$ mit $\sqrt{5}$ .

$\frac{3.19888106}{5} + \frac{- 2.18597234}{5}$

Schritt 4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3.19888106}{5} - \frac{2.18597234}{5}$

Schritt 4.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3.19888106 - 2.18597234}{5}$

Schritt 4.2.8

Subtrahiere $2.18597234$ von $3.19888106$ .

$\frac{1.01290872}{5}$

Schritt 5

Dividiere $1.01290872$ durch $5$ .

$0.20258174$

Schritt 6